بحث بسیار کاربردی مشتق

منبع: ویکی پدیا

این مطالب را حتما با دقت تا انتها بخوانید. مطمئن باشید ضرر نمی کنید مشتق تابع

میزان تغییرات تابع

خط قاطع نمودار تابع $f \!$ که شیب آن برابر مقدار خارج قسمت تفاضلی $f \!$ در $x \!$ است.

با میل کردن $h \!$ به سمت صفر، شیب خط قاطع به مقدار شیب خط مماس در نقطهٔ $x \!$ میل می‌کند.

خط مماس نمودار تابع $f \!$ در $x \!$ که شیب آن برابر مقدار مشتق تابع در $x \!$ است.

اگر $(x , f(x)) \!$ نقطه‌ای از نمودار تابع $y = f (x) \!$ و $(x + h , f (x + h)) \!$ نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه $\Delta f (x) = f (x + h) - f (x) \!$ و شیب خط قاطع عبارت است از:

$m = \frac {\Delta f (x)}{\Delta x} = \frac {f (x + h) - f (x)} {h} \!$

کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی $f \!$ در $x \!$ نامیده می‌شود. اگر $x \!$ ثابت نگه داشته شود و $h \!$ به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی $f \!$ در $x \!$ اگر فقط به $x \!$ بستگی داشته باشد به مقداری میل می‌کند که به آن شیب خط مماس گفته می‌شود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع $f \!$ در $x \!$ را بدست می‌دهد:

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

تعریف مشتق

برای تابع $f \!$ که در همسایگی نقطهٔ $a \!$ تعریف شده‌است، اگر $f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ وجود داشته باشد، $f \!$ در $a \!$ مشتق‌پذیر است. این حدیکتا را با $f'(a) \!$ نمایش داده و آن را مشتق تابع $f \!$ در نقطهٔ $a \!$ می‌نامند.

بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.

با تبدیل $h \!$ به $x - a \!$ تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل می‌شود:

$f'(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

نمادهای مشتق

لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.

لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی $\Delta \!$ خارج قسمت تفاضلی $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ را به شکل $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ نوشت و برای مشتق تابع $f \!$ در $x \!$ نماد $\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} \!$ را معرفی کرد که به صورت $\frac{\operatorname d}{\operatorname dx} f (x)$ نیز نوشته می‌شود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل $\frac{\operatorname d^n}{\operatorname dx^n}f(x)$ نوشته می‌شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت $\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \!$ در می‌آید.

نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از $\dot{y} \!$ و برای مشتق دوم از $\ddot{y} \!$ استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند.

مشتق تابع $f \!$ را با $f' \!$ نیز می‌توان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که $f' \!$ تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از تابع $f \!$ بدست آمده‌است و مقدارش در $x \!$ با $f'(x) \!$ نموده می‌شود. مختصات $x \!$ و $y \!$ واقع بر نمودار $f \!$ با معادلهٔ $y = f (x) \!$ به هم مربوط می‌شوند، و علامت $y' \!$ نیز برای نمایش $f'(x) \!$ بکار می‌رود که مقدارش در $x \!$ به صورت $y'_x \!$ نوشته می‌شود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژمورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر را به صورت $f' \!$ (مشتق اول)، $f'' \!$ (مشتق دوم)، $f''' \!$ (مشتق سوم)، $f^{(4)} \!$ (مشتق چهارم) ... $f^{(n)} \!$ (مشتق $n \!$ ام) نشان می‌دهد.

در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق $f \!$ را به شکل $\operatorname Df \!$ نشان می‌دهد. علامت $\operatorname D \!$ یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا می‌کند که $\operatorname Df \!$ تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از $f \!$ بدست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت $\operatorname D^n f \!$ و مقدار آن در $x \!$ به صورت $\operatorname D^n f (x) \!$ نوشته می‌شود.

مشتق‌های یک طرفه

مشتق راست: اگر تابع $f \!$ در فاصلهٔ $[a , b) \!$ تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد زیر، در صورت وجود، مشتق راست تابع در $x = a \!$ می‌باشد:

$f'_{+}(a) = \lim_{x \to a^{+}}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0^{+}}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

مشتق چپ: اگر تابع $f \!$ در فاصلهٔ $(c , a] \!$ تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد، زیر در صورت وجود، مشتق چپ تابع در $x = a \!$ می‌باشد:

$f'_{-}(a) = \lim_{x \to a^{-}}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0^{-}}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

مشتق‌پذیری

تابع $f \!$ در $x = a \!$ مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد.

تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع $f \!$ در $x = a \!$ مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.

اگر تابع $f \!$ در نقطهٔ $a \!$ مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.

ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در $x = a \!$ شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع $f \!$ در $a \!$ ناپیوسته باشد، آنگاه در $a \!$ مشتق‌پذیر نیست.

موارد مشتق‌ناپذیری

مواردی که تابع در نقطهٔ مفروض $a \!$ مشتق‌پذیر نیست:

نقاط ناپیوسته: تابع در نقاط ناپیوسته مشتق‌ناپذیر است و از دید هندسی نمی‌توان در این نقاط مماس بر منحنی رسم کرد.
نقاط زاویه‌دار: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها دو عدد حقیقی نابرابر، یا یکی عدد و دیگری بی‌نهایت باشد، مشتق‌پذیر نیست. از دید هندسی، در این نقاط دو نیم‌مماس بر منحنی رسم می‌شود که با هم زاویه می‌سازند.
نقاط عطف قائم: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک خط کامل مماس به موازات محور yها رسم کرد. نقطهٔ عطف قائم تنها نقطه‌ای است که تابع در آن مشتق‌پذیر نیست ولی مماس کامل دارد.
نقاط بازگشت: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های غیر هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک نیم‌مماس، به موازات محور yها رسم کرد.
تابع در نقاطی که پیوسته‌اند ولی مشتق در آن‌ها به سمت عدد مشخصی میل نمی‌کند نیز مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط نمی‌توان مماس مشخصی بر منحنی رسم کرد.

دامنهٔ تابع مشتق

منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر است. به طور کلی برای تابع $f \!$ داریم:

$\} \!$ مجموعه نقاطی که $f' \!$ در آن تعریف نشده است $D_{f'} = D_{f} - \{ \!$

مشتق تابع نسبت به تابع

هرگاه بخواهیم مشتق یک تابع مانند $f \!$ را نسبت به تابع دیگری مانند $g \!$ بدست آوریم، کافی است مشتق این توابع را نسبت به متغیرشان محاسبه نموده و سپس بر هم تقسیم کنیم.

$f'_g = \cfrac{\operatorname df}{\operatorname dg} = \cfrac{\cfrac{\operatorname df}{\operatorname dx}}{\cfrac{\operatorname dg}{\operatorname dx}} = \cfrac{f'_x}{g'_x}$

مشتق توابع پارامتری

توابع که به فرم $\begin{cases} x = f (t) \\ y = g (t) \end{cases}$ هستند را توابع پارامتری می‌نامند. در این حالت، مشتق $y \!$ نسبت به $x \!$ از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است:

$y'_x = \cfrac{\operatorname dy}{\operatorname dx} = \cfrac{\cfrac{\operatorname dy}{\operatorname dt}}{\cfrac{\operatorname dx}{\operatorname dt}} = \cfrac{y'_t}{x'_t} = \cfrac{g'(t)}{f'(t)}$

قضیهٔ لاگرانژ

قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان می‌کند که هرگاه تابع $f \!$ روی $[a , b] \!$ پیوسته و روی بازهٔ $(a , b) \!$ مشتق‌پذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطهٔ $c \!$ در بازهٔ $(a , b) \!$ وجود دارد که در آن:

$f'(c) = \cfrac {f (b) - f (a)}{b - a} \!$

تعبیر هندسی: قضیه بیان می‌کند که در بازهٔ $(a , b) \!$ حداقل یک نقطه وجود دارد که مماس بر منحنی در آن نقطه به موازات خط واصل نقاط دو سر منحنی است.
تعبیر فیزیکی: اگر نمودار را مکان-زمان در نظر بگیریم و بازهٔ $(a , b) \!$ بازهٔ زمانی باشد، قضیهٔ فوق می‌گوید، حداقل یک لحظه در بازهٔ $(a , b) \!$ وجود دارد که سرعت لحظه‌ای با سرعت متوسط برابر می‌شود.

خط مماس بر منحنی (صورتی) در نقطۀ $c \!$ با خط واصل نقاط دو سر منحنی (طوسی) موازی است.

قضیهٔ کوشی

قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع $f \!$ و $g \!$ روی بازهٔ $[a , b] \!$ پیوسته و روی بازهٔ $(a , b) \!$ مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ $c \!$ در بازهٔ $(a , b) \!$ وجود دارد که در آن:

$\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} \!$

کاربرد مشتق

خط مماس و قائم

مشتق به ازای مختصات نقطهٔ تماس برابر است با ضریب زاویهٔ خط مماس. پس برای تعیین شیب خط مماس یا قائم بر منحنی و تعیین معادلهٔ آن‌ها می‌توان از مشتق استفاده کرد.

خط مماس (سبز) و خط قائم (آبی) در نقطهٔ $(x_{0} , y_{0}) \!$ واقع بر منحنی

معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ $(x_{0} , y_{0}) \!$ واقع بر منحنی:

$\begin{cases} y - y_{0} = m (x - x_{0}) \\ m = f'(x_{0}) \end{cases}$

معادلهٔ خط قائم در نقطهٔ $(x_{0} , y_{0}) \!$ واقع بر منحنی:

$\begin{cases} y - y_{0} = m' (x - x_{0}) \\ m' = \dfrac {-1}{m} \end{cases}$

خط مماس بر منحنی از نقطهٔ $A (x_{0} , y_{0}) \!$ خارج از منحنی

معادلهٔ خط مماس بر منحنی از نقطه‌ای خارج از منحنی: اگر بخواهیم از نقطهٔ $A (x_{0} , y_{0}) \!$ مماسی بر منحنی رسم کنیم، نقطهٔ تماس را $M (a , f (a)) \!$ در نظر می‌گیریم، چون نقطهٔ $M \!$ روی منحنی قرار گرفته از منحنی مشتق می‌گیریم و مختصات $M \!$ را قرار می‌دهیم تا شیب معادله بدست آید.

$\begin{cases} m = f'(a) \\ y - f (a) = f'(a) (x - a) \end{cases}$

در نهایت چون نقطهٔ $A (x_{0} , y_{0}) \!$ روی خط مماس قرار دارد، در معادلهٔ فوق قرار داده تا یک معادلهٔ یک مجهولی بر حسب $a \!$ بدست آید.

آهنگ تغییر

نسبت تغییرات دو کمیت را آهنگ تغییر یکی نسبت به دیگری می‌گویند.

آهنگ تغییر متوسط

آهنگ متوسط تغییرات $f \!$ در فاصلهٔ $[a , b] \!$ عبارت است از:

$\frac {f (b) - f (a)}{b - a} \!$

آهنگ متوسط تغییرات $f \!$ نسبت به متغیر $x \!$ عبارت است از:

$\frac {\Delta f}{\Delta x} = \dfrac {f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x} = \dfrac {f (x_2) - f (x_1)}{x_2 - x_1} \!$

آهنگ تغییر لحظه‌ای

اگر $\Delta x \to 0 \!$ تغییرات $f \!$ نسبت به تغییرات $x \!$ را آهنگ آنی (لحظه‌ای) تغییر $f \!$ نسبت به $x \!$ گویند.

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac {f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x} = f'(x) \!$

آزمون‌های مشتق

آزمون مشتق اول

با فرض اینکه $c \!$ نقطهٔ بحرانی تابع $f \!$ است و $c \in (a , b) \!$ و $f \!$ روی $(a , b) \!$ پیوسته و به جز احتمالاً در $c \!$ مشتق‌پذیر باشد:

اگر $f' \!$ روی $(a , c) \!$ مثبت و روی $(c , b) \!$ منفی باشد، آنگاه $f \!$ در $c \!$ ماکزیمم نسبی دارد.
اگر $f' \!$ روی $(a , c) \!$ منفی و روی $(c , b) \!$ مثبت باشد، آنگاه $f \!$ در $c \!$ مینیمم نسبی دارد.
اگر $f' \!$ روی $(a , c) \!$ و $(c , b) \!$ هم‌علامت باشد، آنگاه $f \!$ در $c \!$ اکسترمم ندارد.

آزمون مشتق دوم

فرض کنید $c \!$ نقطهٔ بحرانی تابع $f \!$ و $f'' \!$ موجود باشد:

اگر $f''(c)> 0 \!$ باشد آنگاه $f \!$ در $c \!$ دارای $\min \!$ نسبی است.
اگر $f''(c) <0 \!$ باشد آنگاه $f \!$ در $c \!$ دارای $\max \!$ نسبی است.
اگر $f''(c) = 0 \!$ باشد آزمون بی‌نتیجه است.

جهت تقعر و نقطهٔ عطف

اگر نمودار تابعی به صورت $\smile \!$ باشد، تقعر آن به سمت بالاست. در این حالت منحنی بالای هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر $f' \!$ صعودی اکید باشد و یا $f'' \!$ روی بازهٔ $I \!$ موجود و همواره مثبت باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار $f \!$ روی این بازه رو به بالاست.

اگر نمودار تابعی به صورت $\frown \!$ باشد، تقعر آن به سمت پایین است. در این حالت منحنی پایین هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر $f' \!$ نزولی اکید باشد و یا $f'' \!$ روی بازهٔ $I \!$ موجود و همواره منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار $f \!$ روی این بازه رو به پایین است.

نقطهٔ عطف

اگر جهت تقعر نمودار $f \!$ در نقطهٔ $c \!$ تغییر کند و مماس نیز داشته باشد، آنگاه $c \!$ را نقطهٔ عطف گویند. در بررسی نقطهٔ عطف تابع، سه شرط زیر باید برقرار باشد:

$f \!$ در $c \!$ پیوسته باشد.
$f \!$ در $c \!$ فقط یک مماس داشته باشد. (مایل، افقی یا قائم)
جهت تقعر $f \!$ در $c \!$ تغییر کند.

پس برای یافتن نقاط عطف نمودار تابع کافی است، نقاطی که $f'' \!$ در آن‌ها وجود ندارد یا برابر صفر است را تعیین و علامت $f'' \!$ را قبل و بعد از این نقاط و نیز وجود خط مماس را در این نقاط بررسی کنیم.

عطف با مماس مایل

عطف با مماس افقی

عطف با مماس قائم

بهینه‌سازی

بسیاری از مسائلی که در علوم تجربی و ریاضیات مطرح می‌شوند، در جستجوی یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیممی هستند که یک تابع مشتق‌پذیر می‌تواند در دامنهٔ خاص اختیار کند و مشتق ابزار مناسبی برای یافتن این مقادیر است.

برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله و... که بیشترین یا کمترین مقدار آن مورد نیاز است، به صورت تابعی از متغیرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معادلهٔ حاصل بیش از یک متغیر داشت با استفاده از فرضیات مسأله و ارتباط متغیرها با هم، معادله را به معادله‌ای با یک متغیر مستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را مشخص کرد.